Apa itu Grup?

    Halo, Sobat! Kali ini kita akan mengenali salah satu struktur aljabar yang sangat menarik, struktur ini biasa disebut "grup". Mungkin sobat sebelumnya pernah mendengar istilah grup di suatu tempat. Nah, di sini kita akan membahas definisi grup dalam matematika. Selain itu, kita akan membahas beberapa contoh grup agar sobat lebih memahami apa itu grup.

Definisi Grup

    Diberikan sebuah himpunan tak kosong G dengan sebuah operasi biner \(\ast\) (dinotasikan dengan \((G,\ast)\)). \((G,\ast)\) disebut group jika memenuhi sifat berikut.

1. Tertutup. Jika \(a,b\in G\), maka \(a\ast b\in G\).
2. Asosiatif. Jika \(a,b,c\in G\), maka \(\left(a\ast b\right)\ast c=a\ast(b\ast c)\).
3. Memiliki elemen identitas. Misalkan \(a\in G\), terdapat suatu elemen \(e\in G\) di mana \(a\ast e=a\) dan \(e\ast a=a\).
4. Memiliki elemen invers. Misalkan \(a\in G\), terdapat suatu elemen \(b\in G\) di mana \(a\ast b=e\) dan \(b\ast a=e\). (Selanjutnya b yang dimaksud ditulis sebagai \(a^{-1}\)).

    Dari definisi formal di atas, mari kita kenali grup dengan bahasa yang lebih sederhana. Dapat kita pahami bahwa grup adalah sebuah himpunan (misalnya \(G\)) dengan sebuah operasi biner (misalnya \(\ast\)) yang harus memiliki 4 sifat. Berikut penjelasan keempat sifat tersebut.

1. Tertutup
Misalkan kita ambil sembarang elemen dari himpunan \(G\), yaitu \(a\) dan \(b\). Saat \(a\) dioperasikan dengan \(b\) misalkan menghasilkan \(r\), yaitu \(a \ast b = r\). Elemen \(r\) juga harus ada di himpunan \(G\).
2. Asosiatif
Misalkan kita ambil sembarang 3 elemen dari himpunan \(G\), yaitu \(a, b,\) dan \(c\). Tidak peduli walaupun kita mengoperasikan \(a\) dengan \(b\) terlebih dahulu, lalu hasilnya dioperasikan dengan \(c\), hasilnya akan sama dengan mengoperasikan \(a\) dengan hasil operasi \(b\) dan \(c\).
3. Memiliki elemen identitas
Di himpunan \(G\) terdapat sebuah elemen spesial yang bersifat netral, sebut saja elemen \(e\). Apabila elemen \(e\) dioperasikan dengan elemen lain baik di sebelah kiri maupun di sebelah kanan (perlu dipertegas karena belum tentu berlaku sifat komutatif), hasilnya adalah elemen lain tersebut. Misalnya sembarang elemen \(a\) di \(G\). Saat elemen identitas dioperasikan di sebelah kanan\(a \ast e = a\), begitu pula saat elemen identitas dioperasikan di sebelah kiri \(e \ast a = a\).
4. Memiliki elemen invers
Setiap elemen yang ada di himpunan \(H\) memiliki suatu elemen yang jika dioperasikan, akan menghasilkan elemen identitas. Misalnya sebuah elemen \(x\), terdapat elemen lain sebut saja \(p\). Maka \(x \ast p = e\).

Contoh Grup dan Bukan Grup

Contoh 1. 

Himpunan \(\mathbb{Z}\) (bilangan bulat) di bawah operasi \(+\) (penjumlahan biasa) merupakan group.

Bukti. Ambil sembarang \(a, b, c\in \mathbb{Z}\)

1. Tertutup
\(a + b \in \mathbb{Z}\) yaitu penjumlahan dua bilangan bulat menghasilkan bilangan bulat.
2. Asosiatif
\((a + b) + c = a + (b + c)\)
3. Elemen Identitas
Terdapat sebuah elemen yaitu \(0\) di mana \(a + 0 = a\) dan \(0 + a = a\).
4. Elemen Invers
Setiap elemen di \(\mathbb{Z}\) memiliki invers, yaitu negatif dari elemen tersebut. Misalnya \(a\) inversnya adalah \(-a\) karena \(a + (-a) = 0\) dan \(-a + a = 0\).

Karena keempat sifat terpenuhi, jadi benarlah himpunan \(\mathbb{Z}\) di bawah operasi \(+\) adalah grup.

Contoh 2. 

\((\mathbb{Z}, \times)\) (dibaca himpunan \(\mathbb{Z}\) di bawah operasi perkalian biasa) bukan merupakan grup.

Diperhatikan.  Ambil sembarang \(a, b, c\in \mathbb{Z}\).

1. Tertutup
\(a \times b \in \mathbb{Z}\) yaitu perkalian dua bilangan bulat menghasilkan bilangan bulat.
2. Asosiatif
\((a \times b) \times c = a \times (b \times c)\)
3. Elemen Identitas
Terdapat sebuah elemen yaitu \(1\) di mana \(a \times 1 = a\) dan \(1 \times a = a\).
4. Elemen Invers
Diduga bahwa tidak semua elemen di \(\mathbb{Z}\) memiliki invers pada operasi \(\times\). Cek beberapa elemen himpunan \(\mathbb{Z}\).
• Ambil \(1\). Diperhatikan bahwa inversnya adalah \(1\) itu sendiri karena \(1 \times 1 = 1\). TERPENUHI.
• Ambil \(-1\). Diperhatikan bahwa inversnya adalah \(-1\) itu sendiri karena\(-1 \times (-1) = 1\). TERPENUHI.
• Ambil \(2\). Misalkan inversnya adalah \(m\). Agar \(2 \times m = 1\) kita perlu \(m = \frac {1} {2}\), namun \(\frac {1} {2} \notin \mathbb{Z}\). Jadi 2 tidak memiliki invers di \(\mathbb{Z}\).

Karena terdapat elemen \(\mathbb{Z}\) yang tidak memiliki invers terhadap operasi \(\times\), jadi benarlah bahwa \((\mathbb{Z}, \times)\) bukan grup.

Contoh 3. 

\((\mathbb{Q}, +)\) merupakan grup.

Bukti. Ambil sembarang \(a, b, c \in \mathbb{R}\). Karena \(a, b, c\) adalah bilangan real, maka dapat ditulis
\(a = \frac{p_1}{q_1}\)     \(b = \frac{p_2}{q_2}\)     \(c = \frac{p_3}{q_3}\)
di mana \(p_1, p_2, p_3, q_1, q_2, q_3 \in \mathbb{Z}\)

1. Tertutup
Perhatikan bahwa
\(a + b = \frac{p_1}{q_1} + \frac{p_2}{q_2}\)
\(a + b = \frac{p_1 q_2 + q_1 p_2}{q_1 q_2}\)
Perhatikan juga bahwa \((p_1 q_2), (q_1 p_2), (q_1 q_2) \in \mathbb{Z}\) karena perkalian bilangan bulat bersifat tertutup. Ini berakibat \((p_1 q_2) + (q_1 p_2) \in \mathbb{Z}\) karena penjumlahan bilangan bulat bersifat tertutup. Oleh karena \((p_1 q_2) + (q_1 p_2) \in \mathbb{Z}\) dan \((q_1 q_2)\) keduanya merupakan bilangan bulat, jadi \(\frac{p_1 q_2 + q_1 p_2}{q_1 q_2}\) merupakan bilangan rasional. Artinya \(a + b \in \mathbb{Q}\).
2. Asosiatif
Perhatikan
\((a + b) + c = (\frac{p_1}{q_1} + \frac{p_2}{q_2}) + \frac{p_3}{q_3}\)
\((a + b) + c = \frac{p_1 q_2 + q_1 p_2}{q_1 q_2} + \frac{p_3}{q_3}\)
\((a + b) + c = \frac{(p_1 q_2 + q_1 p_2) q_3 + (q_1 q_2) p_3}{q_1 q_2 q_3}\)
\((a + b) + c = \frac{p_1 q_2 q_3 + q_1 p_2 q_3 + q_1 q_2 p_3}{q_1 q_2 q_3}\)
Perhatikan juga di sisi lain
\(a + (b + c) = \frac{p_1}{q_1} + (\frac{p_2}{q_2} + \frac{p_3}{q_3})\)
\(a + (b + c) = \frac{p_1}{q_1} + \frac{p_2 q_3 + q_2 p_3}{q_2 q_3}\)
\(a + (b + c) = \frac{p_1 (q_2 q_3) + q_1 (p_2 q_3 + q_2 p_3)}{q_1 q_2 q_3}\)
\(a + (b + c) = \frac{p_1 q_2 q_3 + q_1 p_2 q_3 + q_1 q_2 p_3}{q_1 q_2 q_3}\)
Karena
\((a + b) + c = \frac{p_1 q_2 q_3 + q_1 p_2 q_3 + q_1 q_2 p_3}{q_1 q_2 q_3} = a + (b + c) \)
Jadi \((a + b) + c = a + (b + c)\)
3. Elemen Identitas
Terdapat elemen \(0 \in \mathbb(Q)\) di mana \[a + 0 = \frac{p_1}{q_1} + \frac{0}{q_1} = \frac{p_1 + 0}{q_1} = \frac{p_1}{q_1} = a\] dan \[0 + a = \frac{0}{q_1} + \frac{p_1}{q_1} = \frac{0 + p_1}{q_1} = \frac{p_1}{q_1} = a\]
4. Elemen Invers
Invers dari sembarang elemen \(a = \frac{p_1}{q_1}\) adalah negatifnya, yaitu \(-a = - \frac{p_1}{q_2}\) karena
\(a + (-a) = \frac{p_1}{q_1} + (- \frac{p_1}{q_2})\)
\(a + (-a) = \frac{p_1 + (- p_1)}{q_1}\)
\(a + (-a) = \frac{0}{q_1}\)
\(a + (-a) = 0\)
dan
\(-a + a = -\frac{p_1}{q_1} + \frac{p_1}{q_2}\)
\(-a + a = \frac{-p_1 + p_1}{q_1}\)
\(-a + a = \frac{0}{q_1}\)
\(-a + a = 0\)

Karena keempat sifat tersebut terpenuhi, jadi benarlah \((\mathbb{Q}, +)\) merupakan grup.

Contoh 4 (Latihan). 

Himpunan dan operasi \((\mathbb{Q}, \times), (\mathbb{R}, +), dan (\mathbb{R}, \times)\) apakah merupakan grup?.

Agar sobat lebih memahami apa itu grup, coba tunjukkan ketiga grup di contoh 4!

Kesimpulan

    Jadi grup merupakan sebuah himpunan dengan sebuah operasi yang memiliki 4 sifat, yaitu tertutup, asosiatif, identitas, dan invers. Jika sobat memiliki pertanyaan, bisa ditulis di kolom komentar atau DM di instagram @galangvinarky

Referensi

Gallian, J. (2021). Contemporary abstract algebra. Chapman and Hall/CRC.